Коэффициент корреляции знаков фехнера и некоторые ранговые коэффициенты. Коэффициент корреляции в Excel Коэффициенты корреляции показателей состояния региональных подсистем с показателем инвестиций

Для устранения недостатка ковариации был введён линейный коэффициент корреляции (или коэффициент корреляции Пирсона), который разработали Карл Пирсон, Фрэнсис Эджуорт и Рафаэль Уэлдон (англ.)русск. в 90-х годах XIX века. Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле :

где , - среднее значение выборок.

Коэффициент корреляции изменяется в пределах от минус единицы до плюс единицы .

Коэффициент ранговой корреляции Кендалла

Применяется для выявления взаимосвязи между количественными или качественными показателями, если их можно ранжировать. Значения показателя X выставляют в порядке возрастания и присваивают им ранги. Ранжируют значения показателя Y и рассчитывают коэффициент корреляции Кендалла:

большим значением рангов Y.

Суммарное число наблюдений, следующих за текущими наблюдениями с меньшим значением рангов Y. (равные ранги не учитываются!)

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена

Степень зависимости двух случайных величин (признаков) X и Y может характеризоваться на основе анализа получаемых результатов . Каждому показателю X и Y присваивается ранг. Ранги значений X расположены в естественном порядке i=1, 2, . . ., n. Ранг Y записывается как Ri и соответствует рангу той пары (X, Y), для которой ранг X равен i. На основе полученных рангов Х i и Yi рассчитываются их разности и вычисляется коэффициент корреляции Спирмена:

Значение коэффициента меняется от −1 (последовательности рангов полностью противоположны) до +1 (последовательности рангов полностью совпадают). Нулевое значение показывает, что признаки независимы.

Коэффициент корреляции знаков Фехнера

Подсчитывается количество совпадений и несовпадений знаков отклонений значений показателей от их среднего значения.

C - число пар, у которых знаки отклонений значений от их средних совпадают.

H - число пар, у которых знаки отклонений значений от их средних не совпадают.

Литература: http://ru.wikipedia.org/wiki/%CA%EE%F0%F0%E5%EB%FF%F6%E8%FF

9. вычислите коэффициент корреляции Спирмэна.

Оценка взаимосвязи показателей: X – место занятое в стрельбе из винтовки; Y – количество попаданий в десятку. Все прочие условия примерно одинаковы. Результаты соревнований представлены в Таблице №1

Таблица №1 Расчет рангового коэффициента корреляции Спирмэна.

Пояснение:

шаг 1. Проранжировать (упорядочить и приписать порядковые номера) показатели X и Y. Так как X упорядочен и обозначает соответствующие ранги, перепишем его в столбец 3. показателю Y приписываем ранги следующим образом: значению 10 – ранг 1; 9 – ранг (2+3)/2=2,5; 8 – ранг 4; 7 – ранг 5 и т. д. (столбец 4)

шаг 2. вычислить разность рангов d=Dx-Dy(столбец 5)

шаг 3. вычислить квадрат разности d=(Dx-Dy)2 (столбец 6)

шаг 4. вычислить сумму квадратов разности

Краткая теория

К простейшим показателям тесноты связи относят коэффициент корреляции знаков, который был предложен немецким ученым Г.Фехнером. Этот показатель основан на оценке степени согласованности направлений отклонений индивидуальных значений факторного и результативного признаков от соответствующих средних. Для его расчета вычисляют средние значения результативного и факторного признаков, а затем проставляют знаки отклонений для всех значений взаимосвязанных пар признаков.

Если ввести обозначения: – число совпадений знаков отклонений индивидуальных величин от средней, – число несовпадений знаков отклонений, то коэффициент Фехнера можно записать таким образом:

Коэффициент Фехнера может принимать различные значения в пределах от -1 до +1. Если знаки всех отклонений совпадут, то и тогда показатель будет равен 1, что свидетельствует о возможном наличии прямой связи. Если же знаки всех отклонений будут разными, тогда и коэффициент Фехнера будет равен -1, что дает основание предположить наличие обратной связи.

Пример решения задачи

Условие задачи

Имеются данные о поголовье крупного рогатого скота по 12 сельхозпредприятиям на 1 января и среднегодовом надое молока на одну корову. Определите частоту связи между этими факторами, используя коэффициент корреляции Фехнера.

№ п/п сельскохозяйственных предприятий

1.2

35.8

1.6

30.0

2.8

34.8

1.8

31.3

2.9

36.9

37.1

1.6

27.9

1.7

30.0

2.6

35.8

1.3

32.1

29.1

3.3

34.3

Решение задачи

Составим расчетную таблицу:

№ п/п сельскохозяйственных предприятий

Поголовье крупного рогатого скота на 1 января, тыс.голов

Среднегодовой надой на одну корову, кг

1.2

35.8

1.44

1281.64

42.96

1.6

2.56

900

2.8

34.8

7.84

1211.04

97.44

1.8

31.3

3.24

979.69

56.34

2.9

36.9

8.41

1361.61

107.01

37.1

1376.41

111.3

1.6

27.9

2.56

778.41

44.64

1.7

2.89

900

2.6

35.8

6.76

1281.64

93.08

1.3

32.1

1.69

1030.41

41.73

29.1

846.81

58.2

3.3

34.3

10.89

1176.49

113.19

Итого

25.8

395.1

61.28

13124.15

864.89

Коэффициент Фехнера можно вычислить по формуле:

Число совпадений знаков отклонений индивидуальных величин от средней, , - число несовпадений знаков отклонений

1.2 35.8 1.6 30 2.8 34.8 1.8 31.3 2.9 36.9 3 37.1 1.6 27.9 1.7 30 2.6 35.8 1.3 32.1 2 29.1 3.3 34.3

Знаки отклонений от средней

Совпадение ( или несовпадение знаков

Обычно такое значение показателя тесноты связи характеризует сильную зависимость, однако, следует иметь в виду, что поскольку коэффициент зависит только от знаков и не учитывает величину самих отклонений и от их средних величин, то он практически характеризует не столько тесноту связи, сколько ее наличие и направление.

На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Онлайн-помощь на экзамене/зачете осуществляется по предварительной записи.

Заявку можно оставить прямо в чате, предварительно скинув условие задач и сообщив необходимые вам сроки решения. Время ответа - несколько минут.

Различные признаки могут быть связаны между собой.

Выделяют 2 вида связи между ними:

функциональная;
корреляционная.

Корреляция в переводе на русский язык – не что иное, как связь.
В случае корреляционной связи прослеживается соответствие нескольких значений одного признака нескольким значениям другого признака. В качестве примеров можно рассмотреть установленные корреляционные связи между:

длиной лап, шеи, клюва у таких птиц как цапли, журавли, аисты;
показателями температуры тела и частоты сердечных сокращений.

Для большинства медико-биологических процессов статистически доказано присутствие этого типа связи.

Статистические методы позволяют установить факт существования взаимозависимости признаков. Использование для этого специальных расчетов приводит к установлению коэффициентов корреляции (меры связанности).

Такие расчеты получили название корреляционного анализа. Он проводится для подтверждения зависимости друг от друга 2-х переменных (случайных величин), которая выражается коэффициентом корреляции.

Использование корреляционного метода позволяет решить несколько задач:

выявить наличие взаимосвязи между анализируемыми параметрами;
знание о наличии корреляционной связи позволяет решать проблемы прогнозирования. Так, существует реальная возможность предсказывать поведение параметра на основе анализа поведения другого коррелирующего параметра;
проведение классификации на основе подбора независимых друг от друга признаков.

Для переменных величин:

относящихся к порядковой шкале, рассчитывается коэффициент Спирмена;
относящихся к интервальной шкале – коэффициент Пирсона.

Это наиболее часто используемые параметры, кроме них есть и другие.

Значение коэффициента может выражаться как положительным, так и отрицательными.

В первом случае при увеличении значения одной переменной наблюдается увеличение второй. При отрицательном коэффициенте – закономерность обратная.

Для чего нужен коэффициент корреляции?

Случайные величины, связанные между собой, могут иметь совершенно разную природу этой связи. Не обязательно она будет функциональной, случай, когда прослеживается прямая зависимость между величинами. Чаще всего на обе величины действует целая совокупность разнообразных факторов, в случаях, когда они являются общими для обеих величин, наблюдается формирование связанных закономерностей.

Это значит, что доказанный статистически факт наличия связи между величинами не является подтверждением того, что установлена причина наблюдаемых изменений. Как правило, исследователь делает вывод о наличии двух взаимосвязанных следствий.

Свойства коэффициента корреляции

Этой статистической характеристике присущи следующие свойства:

значение коэффициента располагается в диапазоне от -1 до +1. Чем ближе к крайним значениям, тем сильнее положительная либо отрицательная связь между линейными параметрами. В случае нулевого значения речь идет об отсутствии корреляции между признаками;
положительное значение коэффициента свидетельствует о том, что в случае увеличения значения одного признака наблюдается увеличение второго (положительная корреляция);
отрицательное значение – в случае увеличения значения одного признака наблюдается уменьшение второго (отрицательная корреляция);
приближение значения показателя к крайним точкам (либо -1, либо +1) свидетельствует о наличии очень сильной линейной связи;
показатели признака могут изменяться при неизменном значении коэффициента;
корреляционный коэффициент является безразмерной величиной;
наличие корреляционной связи не является обязательным подтверждением причинно-следственной связи.

Значения коэффициента корреляции

Охарактеризовать силу корреляционной связи можно прибегнув к шкале Челдока, в которой определенному числовому значению соответствует качественная характеристика.

В случае положительной корреляции при значении:

0-0,3 – корреляционная связь очень слабая;
0,3-0,5 – слабая;
0,5-0,7 – средней силы;
0,7-0,9 – высокая;
0,9-1 – очень высокая сила корреляции.

Шкала может использоваться и для отрицательной корреляции. В этом случае качественные характеристики заменяются на противоположные.

Можно воспользоваться упрощенной шкалой Челдока, в которой выделяется всего 3 градации силы корреляционной связи:

очень сильная – показатели ±0,7 — ±1;
средняя – показатели ±0,3 — ±0,699;
очень слабая – показатели 0 — ±0,299.

Данный статистический показатель позволяет не только проверить предположение о существовании линейной взаимосвязи между признаками, но и установить ее силу.

Виды коэффициента корреляции

Коэффициенты корреляции можно классифицировать по знаку и значению:

положительный;
нулевой;
отрицательный.

В зависимости от анализируемых значений рассчитывается коэффициент:

Пирсона;
Спирмена;
Кендала;
знаков Фехнера;
конкорддации или множественной ранговой корреляции.

Корреляционный коэффициент Пирсона используется для установления прямых связей между абсолютными значениями переменных. При этом распределения обоих рядов переменных должны приближаться к нормальному. Сравниваемые переменные должны отличаться одинаковым числом варьирующих признаков. Шкала, представляющая переменные, должна быть интервальной либо шкалой отношений.

точного установления корреляционной силы;
сравнения количественных признаков.

Недостатков использования линейного корреляционного коэффициента Пирсона немного:

метод неустойчив в случае выбросов числовых значений;
с помощью этого метода возможно определение корреляционной силы только для линейной взаимосвязи, при других видах взаимных связей переменных следует использовать методы регрессионного анализа.

Ранговая корреляция определяется методом Спирмена, позволяющим статистически изучить связь между явлениями. Благодаря этому коэффициенту вычисляется фактически существующая степень параллелизма двух количественно выраженных рядов признаков, а также оценивается теснота, выявленной связи.

не требующих точного определения значение корреляционной силы;
сравниваемые показатели имеют как количественные, так и атрибутивные значения;
равнения рядов признаков с открытыми вариантами значений.

Метод Спирмена относится к методам непараметрического анализа, поэтому нет необходимости проверять нормальность распределения признака. К тому же он позволяет сравнивать показатели, выраженные в разных шкалах. Например, сравнение значений количества эритроцитов в определенном объеме крови (непрерывная шкала) и экспертной оценки, выражаемой в баллах (порядковая шкала).

На эффективность метода отрицательно влияет большая разница между значениями, сравниваемых величин. Не эффективен метод и в случаях когда измеряемая величина характеризуется неравномерным распределением значений.

Пошаговый расчет коэффициента корреляции в Excel

Расчёт корреляционного коэффициента предполагает последовательное выполнение ряда математических операций.

Приведенная выше формула расчета коэффициента Пирсона, показывает насколько трудоемок этот процесс если выполнять его вручную.
Использование возможностей Excell ускоряет процесс нахождения коэффициента в разы.

Достаточно соблюсти несложный алгоритм действий:

введение базовой информации – столбец значений х и столбец значений у;
в инструментах выбирается и открывается вкладка «Формулы»;
в открывшейся вкладке выбирается «Вставка функции fx»;
в открывшемся диалоговом окне выбирается статистическая функция «Коррел», позволяющая выполнить расчет корреляционного коэффициента между 2 массивами данных;
открывшееся окно вносятся данные: массив 1 – диапазон значений столбца х (данные необходимо выделить), массив 2 – диапазон значений столбца у;
нажимается клавиша «ок», в строке «значение» появляется результат расчета коэффициента;
вывод относительно наличия корреляционной связи между 2 массивами данных и ее силе.

Коэффициент корреляции, предложенный во II–й половине XIX века Г. Т. Фехнером, является наиболее простой мерой связи между двумя переменными. Он основан на сопоставлении двух психологических признаков x i и y i , измеренных на одной и той же выборке, по сопоставлению знаков отклонений индивидуальных значений от среднего: и
. Вывод о корреляции между двумя переменными делается на основании подсчета числа совпадений и несовпадений этих знаков.

Пример

Пусть x i и y i – два признака, измеренные на одной и той же выборке испытуемых. Для вычисления коэффициента Фехнера необходимо вычислить средние значения для каждого признака, а также для каждого значения переменной – знак отклонения от среднего (табл. 8.1):

Таблица 8.1

x i	y i	Обозначение

В таблице: а – совпадения знаков, b – несовпадения знаков; n a – число совпадений, n b – число несовпадений (в данном случае n a = 4, n b = 6).

Коэффициент корреляции Фехнера вычисляется по формуле:

(8.1)

В рассматриваемом случае:

Вывод

Между исследуемыми переменными существует слабая отрицательная связь.

Необходимо отметить, что коэффициент корреляции Фехнера не является достаточно строгим критерием, поэтому его можно использовать лишь на начальном этапе обработки данных и для формулировки предварительных выводов.

8. 4. Коэффициент корреляции Пирсона

Исходный принцип коэффициента корреляции Пирсона – использование произведения моментов (отклонений значения переменной от среднего значения):

Если сумма произведений моментов велика и положительна, то х и у связаны прямой зависимостью; если сумма велика и отрицательна, то х и у сильно связаны обратной зависимостью; наконец, в случае отсутствия связи между x и у сумма произведений моментов близка к нулю.

Для того чтобы статистика не зависела от объема выборки, берется не сумма произведений моментов, а среднее значение. Однако деление производится не на объем выборки, а на число степеней свободы n - 1.

Величина
является мерой связи междух и у и называется ковариацией х и у .

Во многих задачах естественных и технических наук ковариация является вполне удовлетворительной мерой связи. Ее недостатком является то, что диапазон ее значений не фиксирован, т. е. она может варьировать в неопределенных пределах.

Для того чтобы стандартизировать меру связи, необходимо избавить ковариацию от влияния стандартных отклонений. Для этого надо разделить S xy на s x и s y:

(8.3)

где r xy - коэффициент корреляции, или произведение моментов Пирсона.

Общая формула для вычисления коэффициента корреляции выглядит следующим образом:

(некоторые преобразования)

(8.4)

Влияние преобразования данных на r xy:

1. Линейные преобразования x и y типа bx + a и dy + c не изменят величину корреляции между x и y .

2. Линейные преобразования x и y при b < 0, d > 0, а также при b > 0 и d < 0 изменяют знак коэффициента корреляции, не меняя его величины.

Достоверность (или, иначе, статистическая значимость) коэффициента корреляции Пирсона может быть определена разными способами:

По таблицам критических значений коэффициентов корреляции Пирсона и Спирмена (см. Приложение, табл. XIII). Если полученное в расчетах значение r xy превышает критическое (табличное) значение для данной выборки, коэффициент Пирсона считается статистически значимым. Число степеней свободы в данном случае соответствует n – 2, где n – число пар сравниваемых значений (объем выборки).

По таблице XV Приложений, которая озаглавлена «Количество пар значений, необходимое для статистической значимости коэффициента корреляции». В данном случае необходимо ориентироваться на коэффициент корреляции, полученный в вычислениях. Он считается статистически значимым, если объем выборки равен или превышает табличное число пар значений для данного коэффициента.

По коэффициенту Стьюдента, который вычисляется как отношение коэффициента корреляции к его ошибке:

(8.5)

Ошибка коэффициента корреляции вычисляется по следующей формуле:

где m r - ошибка коэффициента корреляции, r - коэффициент корреляции; n - число сравниваемых пар.

Рассмотрим порядок вычислений и определение статистической значимости коэффициента корреляции Пирсона на примере решения следующей задачи.

Условие задачи

22 старшеклассника были протестированы по двум тестам: УСК (уровень субъективного контроля) и МкУ (мотивация к успеху). Получены следующие результаты (табл. 8.2):

Таблица 8.2

	УСК (x i )	МкУ (y i )		УСК (x i )	МкУ (y i )

Задание

Проверить гипотезу о том, что для людей с высоким уровнем интернальности (балл УСК) характерен высокий уровень мотивации к успеху.

Решение

1. Используем коэффициент корреляции Пирсона в следующей модификации (см. формулу 8.4):

Для удобства обработки данных на микрокалькуляторе (в случае отсутствия необходимой компьютерной программы) рекомендуется оформление промежуточной рабочей таблицы следующего вида (табл. 8.3):

Таблица 8.3

x i y i

x 1 y 1

x 2 y 2

x 3 y 3

x n y n

Σx i y i

2. Проводим вычисления и подставляем значения в формулу:

3. Определяем статистическую значимость коэффициента корреляции Пирсона тремя способами:

1-й способ:

В табл. XIII Приложений находим критические значения коэффициента для 1-го и 2-го уровней значимости: r кр. = 0,42; 0,54 (ν = n – 2 = 20).

Делаем вывод о том, r xy > r кр . , т. е. корреляция является статистически значимой для обоих уровней.

2-й способ:

Воспользуемся табл. XV, в которой определяем число пар значений (число испытуемых), достаточное для статистической значимости коэффициента корреляции Пирсона, равного 0,58: для 1-го, 2-го и 3-го уровней значимости оно составляет, соответственно, 12, 18 и 28.

Отсюда мы делаем вывод о том, что коэффициент корреляции является значимым для 1-го и 2-го уровня, но «не дотягивает» до 3-го уровня значимости.

3-й способ:

Вычисляем ошибку коэффициента корреляции и коэффициент Стьюдента как отношение коэффициента Пирсона к ошибке:

В табл. X находим стандартные значения коэффициента Стьюдента для 1-го, 2-го и 3-го уровней значимости при числе степеней свободы ν = n – 2 = 20: t кр. = 2,09; 2,85; 3,85.

Общий вывод

Корреляция между показателями тестов УСК и МкУ является статистически значимой для 1-го и 2-го уровней значимости.

Примечание:

При интерпретации коэффициента корреляции Пирсона необходимо учитывать следующие моменты:

Коэффициент Пирсона может использоваться для различных шкал (шкала отношений, интервальная или порядковая) за исключением дихотомической шкалы.

Корреляционная связь далеко не всегда означает связь причинно-следственную. Другими словами, если мы нашли, предположим, положительную корреляцию между ростом и весом у группы испытуемых, то это вовсе не означает, что рост зависит от веса или наоборот (оба этих признака зависят от третьей (внешней) переменной, каковая в данном случае связана с генетическими конституциональными особенностями человека).

r xu » 0 может наблюдаться не только при отсутствии связи между x и y , но и в случае сильной нелинейной связи (рис. 8.2 а). В данном случае отрицательная и положительная корреляции уравновешиваются и в результате создается иллюзия отсутствия связи.

r xy может быть достаточно мал, если сильная связь между х и у наблюдается в более узком диапазоне значений, чем исследуемый (рис. 8.2 б).

Объединение выборок с различными средними значениями может создавать иллюзию достаточно высокой корреляции (рис. 8.2 в).

y i y i y i

+ + . .

x i x i x i

Рис. 8.2. Возможные источники ошибок при интерпретации величины коэффициента корреляции (объяснения в тексте (пункты 3 – 5 примечания))

Коэффициент Фехнера - это оценка степени согласованности направлений отклонений индивидуальных значений факторного и результативного признаков от средних значений факторного и результативного признаков. Коэффициент Фехнера наряду с такими коэффициентами, как коэффициент Спирмэна и коэффициент Кэндэла, относится к коэффициентам корреляции знаков . Коэффициент корреляции знаков основан на оценке степени согласованности направлений отклонений индивидуальных значений факторного и результативного признаков от соответствующих средних. Вычисляется он следующим образом:

A #n b " data-id="a;b" data-formul="(a-b)/(a+b)" data-r="K ф ">Рассчитать свое значение

Коэффициент Фехнера может принимать значения от –1 до +1. Kф = 1 свидетельствует о возможном наличии прямой связи, Kф=-1 свидетельствует о возможном наличии обратной связи.

Назначение сервиса . Данный сервис предназначен для расчета коэффициент Фехнера в онлайн режиме. Также определяется значимость данного коэффициента.

Инструкция . Укажите количество данных (количество строк), нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word . Также автоматически создается шаблон для проверки решения в Excel .

Расчет коэффициента Фехнера состоит из следующих этапов:

Определяют средние значения для каждого признака (X и Y).
Определяют знаки отклонения (-,+) от среднего значения каждого из признаков.
Если знаки совпадают, присваивают значение А, иначе В.
Считают количество А и В, вычисляя коэффициент Фехнера по формуле: K ф = (n a - n b)/(n a + n b) где n a - число совпадений знаков отклонений индивидуальных величин от средней; n b - число несовпадений.

Коэффициент Фехнера изменяется в пределах [-1;+1] и применяется для оценки тесноты связи качественных признаков (непараметрические методы).

Графическое представление коэффициента Фехнера

Пример №1 . При разработке глинистого раствора с пониженной водоотдачей в высокотемпературных условиях проводили параллельное испытание двух рецептур, одна из которых содержала 2% КМЦ и 1% Na2CO3, а другая 2% КМЦ, 1% Na2CO3 и 0,1% бихромата калия. В результате получена следующие значения Х (водоотдача через 30 с).

X1	9	9	11	9	8	11	10	8	10
X2	10	11	10	12	11	12	12	10	9

Проверит, различимы ли рассматриваемые растворы по значению водоотдачи.

Пример №2 . Коэффициент корреляции знаков , или коэффициент Фехнера, основан на оценке степени согласованности направлений отклонений индивидуальных значений факторного и результативного признаков от соответствующих средних. Вычисляется он следующим образом:

где n a - число совпадений знаков отклонений индивидуальных величин от средней; n b - число несовпадений.

Коэффициент Фехнера может принимать значения от -1 до +1. Kф = 1 свидетельствует о возможном наличии прямой связи, Kф =-1 свидетельствует о возможном наличии обратной связи.

Пример №2
Рассмотрим на примере расчет коэффициента Фехнера по данным, приведенным в таблице:
Средние значения:

Знаки отклонений от средней X	Знаки отклонений от средней Y	Совпадение (а) или несовпадение (b) знаков

Значение коэффициента свидетельствует о том, что можно предполагать наличие обратной связи.

Оценка Коэффициента корреляции знаков.

Для оценки коэффициента Фехнера достаточно оценить его значимость и найти доверительный интервал.
Значимость коэффициента Фехнера.

По таблице Стьюдента находим t табл:
t табл (n-m-1;a) = (6;0.05) = 1.943
Поскольку Tнабл > tтабл, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции знаков. Другими словами, коэффициент Фехнера статистически - значим.